Os Fractais

Um fractal é uma forma geométrica que pode ser dividida em diversas partes de si mesma e ainda assim continuar semelhante ao formato original. Eles independem de escala, ou seja, a figura pode ser vista tanto em macroescala (bem afastada, distante, com zoom negativo, diminuindo a imagem) ou em microescala (bem próxima, perto, com zoom positivo, aumentando a imagem) que ela mantém sua forma geométrica, suas proporcões, ou seja, seu desenho propriamente dito.

É interessante notar que esses “objetos” matemáticos são infinitos, tanto para “fora” quanto para “dentro”. Veja abaixo o comportamento de um fractal, em diversas escalas de zoom.

Aumento de 350 vezes do conjunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalhes repetindo o conjunto inteiro.

Infinito para dentro ? Sim. Para dentro. Quem disse que o infinito é só em termos de grandeza e não de “pequeneza” ? Parece um pouco estranho pensar assim, mas procure remover os bloqueios que existem na sua mente. Saia do Labirinto da Mente. Absorva o verdadeiro conceito de Infinito:

Infinito é simplesmente algo que não tem fim.

Portanto, não há restrições em termos de direção ou sentido para que o infinito exista. Ele simplesmente existe ! Estou dizendo isso porque geralmente temos a tendência de pensar no infinito com sendo sempre algo tão grande, tão grande que é impossível imaginar. E esse conceito também é aplicável para algo pequeno. Algo tão pequeno, tão pequeno, que não há fim para tal pequenez. Sempre há algo menor do que o menor. Não há limite máximo de tamanho, em qualquer das escalas, e é isso o que a Geometria Fractal está nos contando.

Lembre-se, então, dos 2 aspectos do infinito: muito grande (para fora, distanciando-se) ou muito pequeno (para dentro, aproximando-se).

Observe as imagens abaixo… tente visualizar com a sua mente, dando um zoom em um de seus detalhes… e verificando como o padrão geométrico se repete… depois, tente tirar o zoom, distanciando-se da imagem… e visualizando que ela, de novo, se repete…

(Clique para ampliar)

Agora, pergunto a vocês: Seria o Universo um Fractal? Sim/Não/Talvez? Por quê?

Este post tem 13 comentários

  1. kk

    Acredito até que as emoções, a vontade e os próprios pensamentos, sem pensar em formas em si, são fractais em comportamento e em “compartimento”, se me entende.
    A própria forma como egrégoras se crescem ou uma obsessão é alimentada ( assim como vencida ), são fractais.
    Se for continuar o assunto, sugiro a explicação matemática e geométrica. Fractais existem em diversas dimensões, mas o fractal em si tem dimensões em decimal. Temos três dimensões, mas o fractal tem 3,17 ou 4,59 dimensões… Está subtendido e demonstrado com as imagens e com o texto, mas a explicação matemática que eu não domino é chocante.

  2. Gabriel

    O conceito de infinito “no pequeno” é bem interessante e tudo mais…
    Porém, vale lembrar que a energia é discreta, quantizada, em pacotes. Em outras palavras, existe um pacote mínimo e indivisível de energia.
    Assim, existe sim uma unidade indivisível de matéria. Essa matéria ocupa um espaço, que é um volume indivisível.
    Não importa que o processador do seu computador seja capaz de reprocessar um fractal, um mandelbrot, e seja capaz de mostrar infinitamente no pequeno.
    Você sabe muito bem que você não está simplesmente dando zoom, cada vez que você dá o zoom o computador recalcula tudo…
    Se você pegar um brócolis, uma couve-flor ou qualquer fractal natural, você pode aproximar muito ao ponto de chegar às núvens elétricas e aos núcleos atômicos. Você pode alegar que esses ainda se dispõem da mesma forma fractal (duvido, mas não temos como provar), mas certamente seus núcleos não estão na disposição fractal.
    Você poderia alegar que o infinito “no pequeno” exista matematicamente…
    No conjunto dos números racionais, que número vem após o 1? Seria o 2? Ou seria o 1,1? Ou seria até mesmo o 1,01, ou então o 1,000001? (Cantor já demonstrou a cardinalidade dos números racionais, mas isso é assunto para outra conversa).
    Talvez, talvez matematicamente exista o infinito no pequeno…
    Quanto ao universo ser um fractal… ah, aí não sei.

    1. Andre

      O Fractal é um objeto matemático, não físico.
      Assim sendo, você só pode provar sua “infinitude” matematicamente. É possível provar analiticamente, por exemplo, que o fractal de Mandelbrot se repete infinitamente (independente da renderização do seu computador, a complexidade infinita está lá!)
      Quanto à natureza, a gente costuma importar a idéia de fractal para representar a famosa ideia do “as above so below”, repetição de padrões em multi-escalas.
      Mas isso significa que na natureza as coisas são ANÁLOGAS, não IDÊNTICAS e na maioria dos casos (como num Brócoli) é claro que o fractal é limitado! A maioria dos fractais naturais são limitados em grandeza (tanto por cima e por baixo).
      Já a existência do infinito na matemática, é uma IDEIA usada há milênios! E por ser uma ideia, você não pode negar!
      Oras, se eu idealizo algo, esse algo passa a existir no mundo das ideias.
      (Não entendi… A cardinalidade de Cantor não tem nada a ver com o assunto, e inclusive usa como ferramenta o infinitésimo. Como você usa um argumento contra as próprias hipóteses assumidas?!)

  3. Flávio

    Heya!!!
    Quando falamos em infinito já fugimos do conceito de unidade que tanto amamos e entramos em tendência e limite, matematicamente, limite é um número que tende a outro, digamos zero para melhor exemplificação, assim, um número poderia aproximar-se infinitamente do zero sem nunca tocá-lo. Está tentativa de alcançar o zero seria então algo infinito e ativo: Yang 🙂
    que pela terceira Lei de Newton geraria uma interação-reação, seja com o espaço que a abriga, seja com a experiência que a compõe, mesmo que especulativa, cabendo a esses segundos o papel Yin passivo permissivo :D.
    Não acredito em um universo limitado em essência e energia, pois se relativizarmos o conceito de energia perceberemos que em um átomo, segundo Einstein em sua famosa E=mc², pode ter energia suficiente para destruir cidades, energia é uma questão de ambiente e reação com os outros vetores que estão neste.
    Uma bola jogada do alto de um prédio alcança certa velocidade limite graças a resistência do ar, e sem ar?
    Um espaço pequeno que possuísse um universo inteiro( em sua escala para seres que morassem nele, por exemplo) que de tão minúsculo não interagisse com nossa matéria seria percebido por nós ou nossos sentidos?
    Se explorarmos o conceito de infinitude muito acima ou abaixo da nossa realidade diária fica impossível de compreender.
    Algo infinito não precisa existir ou inexistir, talvez exista e inexista ao mesmo tempo, a lógica aqui se torna estranha e perde suas certezas mais aceitas, exemplo: caso um trem em velocidade infinita passe por mim, qual efeito isso terá? Destruição em massa? Dificilmente!!! Teria tanta energia que ou se tornaria etérico e não me causaria mal, ou a energia bateria nas bordas do limite espacial e causaria nelas um Big Crunch retido pelo Big Bang que criou e combateria o próprio dínamo que a gerou e anularia-se (que viagem na maionese), deixando-me ainda, tão gato como estou.
    Quanto ao Universo ser um fractal…
    Um ponto, é o que se torna tudo na distância adequada.
    Retas em perspectiva ( rumando para pontos) tudo grande o suficiente.
    Sinceramente, não tenho a mínima ideia. Talvez.
    Obrigado pelo espaço para dar uma viajada!!! Tudo de bom!!!
    Falow!!!
    @Tiago: obrigado! O objetivo foi justamente esse… fazer suposições e brainstorming de idéias.

  4. Vinícius

    O infinito pequeno seria uma ideia como a do teorema fundamental do cálculo, que diz basicamente que a soma de variações infinitesimais que convergem para um valor específico.

  5. BrnLng

    Acredito que seria maisoumenos como Ouspensky explica em “Um Novo Modelo do Universo”: a percepção do fractal é circunstancial a partir da nossa visão tridimensional sobre realidades percebidas em partes (fracionadas no caso). Como não conseguimos ajustar nossa percepção para entender quantitativamente uma dimensão fracional, percebemos o fractal como ele nos é apresentado. Dependendo do ajuste perceptivo, uma consciência poderia ver quantidades inteiras de forma mais objetiva que as visões apenas qualitativas e superlativas que geralmente temos ao ver as representações de fractais como auto-repetidos.

  6. Priscila G.

    Do jeito que foi definido, o conceito de infinito está ambiguo. Não pretendo desfazer a ambiguidade, já que para isso seria praticamente necessário uma monografia uma vez que é uma discussão muito ampla.
    Acho que o melhor meio de entender um pouco melhor a questão é introduzir alguns pedaços de Teoria dos Conjuntos e conceitos de Cálculo.
    Comecemos com o conceito de conjunto enumerável e não enumerável.
    Um conjunto é enumerável se podemos colocar cada elemento em correspondência um-a-um com os números racionais(mais precisamente, se existe f:N->A, tal que a função f seja bijetiva).
    Por exemplo, o conjunto de números pares é enumerável, pois
    f(n) = 2n.
    Quando isso não acontece o conjunto é não enumerável.
    Nota mental: Um conjunto enumerável pode ser finito ou infinito, de acordo com as definições acima.
    É fácil demonstrar [0,1) não é enumerável (exige apenas artimanhas algébricas). Logo, você não pode colocar ele em correspondência biunívoca com os números naturais. Seres humanos trabalham “naturalmente” com números naturais. Então se você pensar dentro desse contexto intuitivo, pode-se dizer que existe “infinitos números” nesse intervalo tão minúsculo que é [0,1).
    @Tiago: exatamente… tirou as palavras da minha boca. Entre 0 e 1 há infinitos números. Esses números são infinitamente grandes? Grandes para se escrever, claro… mas extremamente pequenos em termos de aproximação.
    O que considero mais próximo do Cálculo sobre ser “infinitamente pequeno” é o conceito de limite que diz mais ou menos isso:
    Existe um número positivo qualquer, que é tão pequeno quanto se queira (siqueira para os íntimos, hehe) e ele está tão próximo do tamanho do módulo da diferenca do valor do limite e da imagem no ponto dado no ponto e portanto, existe um outro número positivo cujo modulo da diferenca entre ele e o ponto dado é positivo (está meio confuso porque tentei simplificar o máximo possível e não obtive muito sucesso).
    Isto é, podemos nos aproximar indefinidamente sem “encostar” respectivamente na imagem do ponto e no ponto. (observe a ilustração sobre isso aqui: http://4.bp.blogspot.com/_ssMz_adI0gA/TOCFqlaPNbI/AAAAAAAACZc/iIyk8AQah2c/s400/limite1.png)
    Se isso acontecer, o limite existe e é único.
    Para mais informações, existem excelentes livros como o do professor Djairo, “Números Racionais e Irracionais” , editado pela SBM. Além do livro do professor Níven, também pela mesma editora.
    @Tiago: claro, podemos discutir finitudes e infinitudes de acordo com os conjuntos de números que estamos trabalhando. O Limite, em Cálculo, é interessante para ilustrar o conceito de infinitamente pequeno. Como você faz pra se aproximar de um ponto cada vez mais, mas nunca chegar a ele? Alimento para reflexão.

  7. Lucas

    A muito tempo que eu descorbri os fractais , fiquei fascinado e baixei inclusive um programinha no computador para simulá-los , mas a primeira coisa que eu pensei quando me deparei com eles foi justamente no universo , e fiquei pensando muito sobre isso, mas uma coisa que observo é que ninguém consegue lidar com a infinitude em si e sim uma aproximação dela, como em matemática para provar que os números primos são infinitos ( os gregos achavam que como os números primos vão escasseando cada vez mais quando ascendemos na escala de números naturais os mesmos poderiam ser finitos), tal prova é feita com uma mudança no foco da pergunta e não com a infinitude em si. Assim como o próprio conceito de limite , no qual você admite um função que tende ao infinito , mas não vai assumir necessariamente aquele valor, tal conceito sempre me lembra a filosofia renascentista : Você deve sempre tentar chegar a perfeição mas sabendo que nunca a alcançará.
    Salvo as minhas viajens (rs) penso que a infinitude é algo intangível a lógica humana.
    @Tiago: de fato… será que por buscarmos e buscarmos incessantemente, acabamos perdendo? Talvez estejamos sendo contraprodutivos. Talvez se parássemos e observássemos atentamente, calmamente… meditando, talvez? Obrigado por sua contribuição!

  8. Cássio Oliveira

    Mas é obvio!!!
    Tive essa impressão depois de experimentar o Santo Daime. Olhando cabalisticamente, o universo é um fractal que se originou da mente criativa de deus e se diviiu ao ponto em que estamos agora, se ramificando e laterando de acordo com nossas percepções.
    Uma maneira de rastrar padrões dentro deste fractal que chamamos e universo vem do conhecimento que chamamos de geometria sagrada, pegando padrões em ordens símbolícas e númericas. Na minha experiência com daime, tive uma presença muito forte do simbolismo do n°1 e 2: o um dava a noção de eu (meu corpo, minha existência, o que EU fazia, ego) e do dois era das impressões que eu captava dos outros (EU e ELES).
    Um iluminado é umapessoa que vive dentro deste fractal mas não e deixa ipressionar por ele em nenhum momento, mas pelo contrário, só observa como ele funciona e só se diverte a medida que ele se trasnsforma e se altera.

  9. Priscila G.

    Vamos partir para especulações num terreno em que existe um consenso maior, que é o mundano ( o que obviamente por uma das leis herméticas nos faz concluir que em cima também ocorreria, pois “E o que está embaixo é como o que está em cima”).
    Não podemos simplesmente provar que o universo conhecido é um fractal pela experiência individual, que é limitada e mesmo científicamente. Mas, se o universo for um fractal, teremos como uma de suas propriedades a simetria. Pois bem, em 2008 os professores Makoto Kobayashi e Toshihide Maskawa Yukawa ganharam o prêmio Nobel de Física por mostrar a quebra de simetria na natureza.
    “A quebra de simetria na natureza descreve como os sistemas físicos podem subitamente mostrar uma preferência por certa direção em detrimento de outras direções.” (fonte: http://goo.gl/gFeT3)
    Além do mais se o Universo for um fractal temos que esquecer a ideia de livre arbítrio, visto que um fractal, é um “sistema” determinístico, o que leva abaixo qualquer ideia sobre livre arbítrio que poderíamos ter.
    Eu adoraria que o Universo fosse fractal, mas para mim, as evidências me levam quer que não é isso, não…

  10. Flávio

    Engraçado ninguém ter falado em Aleph ainda.
    Seria o ponto que possui todos? Tem a ver com a Cabala Hermética?
    Tem um livro do Coelho, né? Quem puder responda.
    Abraços.
    @Tiago: então… tb tive esse “vislumbre” da conexão com o ponto que possui todos em si… sendo na realidade a única coisa que realmente existe no Universo, o Princípio. A partir dele, se manifestam todos os outros Pontos, ou Esferas, como na Kabbalah Hermética. Matemática e Kabbalah se combinam muito bem.

  11. Cayo

    Com certeza o universo é um fractal! TEMET NOSCE!

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